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最长公共子序列LCS算法

算法   2017-03-11 13:11:07

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参考：《算法导论》第三版 15.4节

介绍：

最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。一个数列 ，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则称为已知序列的最长公共子序列。 最长公共子序列问题是一个经典的计算机科学问题，也是数据比较程序，比如Diff工具，和生物信息学应用的基础。它也被广泛地应用在版本控制，比如Git用来调和文件之间的改变。

动态规划：

最长公共子序列问题存在最优子结构：这个问题可以分解成更小，更简单的“子问题”，这个子问题可以分成更多的子问题，因此整个问题就变得简单了。最长公共子序列问题的子问题的解是可以重复使用的，也就是说，更高级别的子问题通常会重用低级子问题的解。拥有这个两个属性的问题可以使用动态规划算法来解决，这样子问题的解就可以被储存起来，而不用重复计算。

算法：

令

Ax表示序列A的连续前x项构成的子序列，即Ax= a1,a2,……ax, 

By表示序列A的连续前y项构成的子序列，By= b1,b2,……by, 

LCS(x, y)表示它们的最长公共子序列长度，

L(x, y)表示Ax和By的一个最长公共子序列。

结论：

LCS(x,y) = 

(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By

(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

(3) 0 如果x = 0或者y = 0

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